Grenzwerte und Divergenz
Der Begriff des Grenzwerts ist fundamental für die Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion oder Folge, wenn sich die unabhängige Variable einem bestimmten Wert nähert. Formal schreibt man:
Dies bedeutet: Die Funktion nähert sich dem Wert beliebig genau an, wenn sich dem Wert nähert.
Existiert kein solcher endlicher Wert , spricht man von Divergenz. Man unterscheidet dabei zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz.
Bestimmte Divergenz
Eine Funktion zeigt bestimmte Divergenz, wenn sie für gegen oder strebt. Die Funktion wächst oder fällt unbegrenzt, hat aber eine eindeutige Richtung.
Beispiel: Die Funktion
divergiert bestimmt gegen für , sowohl von links als auch von rechts:
Unbestimmte Divergenz
Bei unbestimmter Divergenz zeigt die Funktion kein eindeutiges Grenzwertverhalten. Sie kann oszillieren oder zwischen verschiedenen Werten wechseln, ohne sich einem festen Wert oder zu nähern.
Beispiel: Die Sinusfunktion
oszilliert für permanent zwischen und :
Zusammenfassung: Divergenz
Bestimmte Divergenz: Die Funktion strebt gegen oder . Das Verhalten ist eindeutig bestimmt.
Unbestimmte Divergenz: Die Funktion zeigt kein eindeutiges Verhalten, sie oszilliert oder wechselt zwischen verschiedenen Werten.
Grenzwertsätze
Die Grenzwertsätze sind fundamentale Rechenregeln, die es ermöglichen, Grenzwerte komplexer Funktionen aus den Grenzwerten einfacherer Funktionen zu bestimmen. Sie bilden das Fundament für viele Berechnungen in der Analysis.
Seien und Funktionen mit existierenden Grenzwerten:
1. Grenzwertsatz für Summen und Differenzen
Der Grenzwert einer Summe (oder Differenz) ist gleich der Summe (oder Differenz) der Grenzwerte:
Beispiel:
2. Grenzwertsatz für Produkte
Der Grenzwert eines Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte:
Beispiel:
3. Grenzwertsatz für Quotienten
Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte, sofern der Nenner nicht null ist:
Wichtig: Ist , muss der Grenzwert gesondert untersucht werden (z.B. mit der Regel von L'Hospital).
4. Grenzwertsatz für konstante Vielfache
Konstante Faktoren können vor den Grenzwert gezogen werden:
5. Grenzwertsatz für Potenzen
Der Grenzwert einer Potenz ist gleich der Potenz des Grenzwerts:
6. Grenzwertsatz für Wurzeln
Für nicht-negative Grenzwerte gilt:
7. Stetigkeit und Grenzwerte
Ist eine Funktion stetig an der Stelle , so gilt:
Dies bedeutet: Bei stetigen Funktionen kann man den Grenzwert direkt durch Einsetzen berechnen.
8. Sandwich-Satz (Einschließungskriterium)
Der Sandwich-Satz (auch Quetschsatz genannt) ist besonders nützlich, wenn der direkte Grenzwert schwer zu bestimmen ist. Er besagt:
Gilt in einer Umgebung von :
und haben und denselben Grenzwert:
dann folgt:
Beispiel: Um zu bestimmen, nutzt man , woraus folgt:
Da , folgt .
9. Wichtige Standardgrenzwerte
Einige Grenzwerte treten in der Analysis besonders häufig auf und sollten bekannt sein:
Trigonometrischer Grenzwert:
Dieser Grenzwert ist fundamental für die Ableitung der Sinusfunktion.
Eulersche Zahl:
Dieser Grenzwert definiert die Eulersche Zahl , die Basis der natürlichen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion.
Weitere wichtige Grenzwerte:
10. Grenzwertsätze für Folgen
Die Grenzwertsätze gelten analog auch für Folgen. Für konvergente Folgen und mit
gelten:
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