Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Die Kurvendiskussion ist eine systematische Methode zur vollständigen Analyse des Verlaufs einer Funktion. Sie ermöglicht es, alle charakteristischen Eigenschaften eines Funktionsgraphen zu bestimmen und zu verstehen. Diese Analyse ist fundamental für das Verständnis mathematischer Zusammenhänge und findet breite Anwendung in Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft.

Ganzrationale Funktionen sind Polynome der allgemeinen Form:

Als konkretes Beispiel untersuchen wir die kubische Funktion . Diese Funktion zeigt alle typischen Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion dritten Grades und eignet sich daher ideal für eine vollständige Kurvendiskussion.

1. Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt an, für welche -Werte die Funktion definiert ist. Da Polynome für alle reellen Zahlen definiert sind, gilt:

Dies bedeutet, dass wir jeden beliebigen reellen Wert für einsetzen können und immer einen eindeutigen Funktionswert erhalten.

2. Symmetrieverhalten

Funktionen können verschiedene Symmetrieeigenschaften besitzen, die ihre Analyse vereinfachen:

Prüfung für unsere Funktion:

Da weder noch gilt, ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

3. Nullstellen bestimmen

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der -Achse. Sie ergeben sich aus der Gleichung :

Durch Ausklammern von :

Die quadratische Gleichung lösen wir durch Faktorisierung:

Nullstellen: , ,

Diese drei Nullstellen teilen den Definitionsbereich in vier Intervalle, in denen die Funktion ihr Vorzeichen nicht wechselt.

4. Verhalten im Unendlichen

Das Verhalten für wird vom Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Bei unserer Funktion ist das :

Dies ist charakteristisch für Polynome ungeraden Grades mit positivem Leitkoeffizienten: Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben.

5. Ableitungen berechnen

Die Ableitungen liefern wichtige Informationen über Monotonie, Extremstellen und Krümmungsverhalten:

Erste Ableitung:

Zweite Ableitung:

Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente an jedem Punkt an, während die zweite Ableitung Auskunft über die Krümmung des Graphen liefert.

6. Extremstellen bestimmen

Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte) finden wir, indem wir die erste Ableitung null setzen:

Mit der Mitternachtsformel:

Numerisch: und

Zur Klassifikation verwenden wir die zweite Ableitung:

• → lokales Maximum
• → lokales Minimum

7. Wendepunkt bestimmen

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich die Krümmung der Kurve ändert. Er liegt dort, wo die zweite Ableitung null wird:

Der Funktionswert am Wendepunkt:

Wendepunkt:

Interessant ist, dass der Wendepunkt bei genau zwischen den beiden Extremstellen liegt und gleichzeitig eine Nullstelle ist.

Kurvendiskussion einer Parabel

Parabeln sind die Graphen quadratischer Funktionen und gehören zu den wichtigsten Funktionstypen der Mathematik. Sie haben die allgemeine Form:

Parabeln treten häufig in der Physik auf (Wurfbahnen, Reflexionen), in der Technik (Parabolspiegel, Brückenkonstruktionen) und in der Wirtschaft (Kosten- und Gewinnfunktionen). Als Beispiel untersuchen wir .

1. Definitionsbereich

Wie alle Polynome ist auch die quadratische Funktion für alle reellen Zahlen definiert:

2. Öffnungsrichtung der Parabel

Die Öffnungsrichtung wird durch den Leitkoeffizienten bestimmt:

Da , ist unsere Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein globales Minimum.

3. Nullstellen der Parabel

Nullstellen finden wir durch Lösen der Gleichung :

Diese Gleichung können wir faktorisieren oder die Mitternachtsformel anwenden:

Nullstellen: ,

Die Parabel schneidet die -Achse an zwei Punkten: und .

4. Scheitelpunkt bestimmen

Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt der Parabel. Seine -Koordinate liegt bei:

Der zugehörige Funktionswert:

Scheitelpunkt:

Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und stellt das globale Minimum der Funktion dar.

5. Verhalten im Unendlichen

Für dominiert der quadratische Term:

Dies bestätigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und ein globales Minimum besitzt.

Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome und erweitern das Spektrum der Kurvendiskussion erheblich. Sie haben die allgemeine Form:

Im Gegensatz zu ganzrationalen Funktionen können gebrochenrationale Funktionen Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten besitzen. Diese Eigenschaften machen sie besonders interessant für die Modellierung von Phänomenen mit singulären Verhalten. Als Beispiel untersuchen wir:

1. Definitionsbereich

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners:

Definitionsbereich:

An der Stelle ist die Funktion nicht definiert, da der Nenner null wird.

2. Nullstellen

Nullstellen entstehen, wenn der Zähler null wird, der Nenner aber nicht:

Nullstellen: ,

Beide Werte liegen im Definitionsbereich, da der Nenner für diese -Werte nicht null wird.

3. Verhalten im Unendlichen

Für große Beträge von dominieren die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner:

Daher: und

4. Asymptoten

Vertikale Asymptote (Polstelle):

An der Stelle untersuchen wir das Verhalten der Funktion:

→ Vertikale Asymptote:

Schräge Asymptote:

Da Grad(Zähler) = Grad(Nenner) + 1, existiert eine schräge Asymptote. Wir finden sie durch Polynomdivision:

Für geht , daher:

→ Schräge Asymptote:

5. Ableitung mit der Quotientenregel

Für die Ableitung verwenden wir die Quotientenregel:

Mit , , , :

Diese Ableitung kann zur Bestimmung von Extremstellen und Monotoniebereichen verwendet werden.