Kugeln & Kugelgleichungen
Eine Kugel im dreidimensionalen Raum ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt den gleichen Abstand (Radius) haben:
In Vektorschreibweise:
Beispiel:
Kugel mit Mittelpunkt und Radius :
Abstände berechnen
Wichtige Abstandsformeln:
Abstand Punkt-Punkt:
Abstand Punkt-Gerade:
Lotfußpunktverfahren oder Formel mit Kreuzprodukt
Abstand Punkt-Ebene:
Winkel berechnen
Winkel zwischen geometrischen Objekten werden mit dem Skalarprodukt berechnet:
Winkel zwischen Vektoren:
Winkel zwischen Geraden:
Winkel zwischen den Richtungsvektoren
Winkel zwischen Ebenen:
Winkel zwischen den Normalenvektoren
Spiegelungen
Spiegelungen sind wichtige geometrische Transformationen:
Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt
Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden
Ebenenspiegelung: Spiegelung an einer Ebene
Formel Ebenenspiegelung:
Spiegelpunkt von an Ebene E:
wobei der normierte Normalenvektor der Ebene ist
Zusammenfassung
Die analytische Geometrie verbindet Algebra und Geometrie und ermöglicht die präzise Beschreibung geometrischer Objekte im Raum:
Grundlagen:
- Vektoren und Vektoroperationen
- Skalar- und Vektorprodukt
- Längen und Winkel
Objekte:
- Geraden und Ebenen
- Kugeln und andere Objekte
- Lagebeziehungen und Abstände
Analytische Geometrie · Vektorrechnung · Geraden · Ebenen · Abstände · Winkel