Parameterform der Geraden
Eine Gerade im Raum wird durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben:
: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
: Richtungsvektor (gibt die Richtung der Geraden an)
: Parameter (kann alle reellen Werte annehmen)
Beispiel:
Gerade durch mit Richtung :
Lagebeziehungen von Geraden
Zwei Geraden im Raum können verschiedene Lagen zueinander haben:
1. Identisch:
Die Geraden stimmen vollständig überein
2. Parallel:
Richtungsvektoren sind linear abhängig, aber kein gemeinsamer Punkt
3. Schneidend:
Die Geraden haben genau einen Schnittpunkt
4. Windschief:
Die Geraden liegen in verschiedenen Ebenen und schneiden sich nicht
Ebenengleichungen
Eine Ebene kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:
Parameterform:
Normalenform:
Koordinatenform:
Beispiel:
Ebene durch mit Spannvektoren und:
Lagebeziehungen Gerade & Ebene
Eine Gerade und eine Ebene können drei verschiedene Lagen zueinander haben:
1. Gerade liegt in der Ebene
2. Gerade ist parallel zur Ebene
3. Gerade schneidet die Ebene (ein Schnittpunkt)
Schnittpunkte & Abstände
Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu finden, setzt man die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Beispiel:
Gerade:
Ebene:
Einsetzen:
Schnittpunkt:
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