Vektorrechnung: Grundlagen & Definitionen
Die Vektorrechnung ist ein fundamentales Werkzeug der analytischen Geometrie. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe, die durch Betrag und Richtung charakterisiert wird. Vektoren werden verwendet, um Punkte im Raum zu beschreiben, Bewegungen darzustellen und geometrische Objekte zu analysieren.
Ein Vektor im dreidimensionalen Raum wird durch drei Koordinaten dargestellt:
Der Betrag (Länge) eines Vektors berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras:
Beispiel:
Gegeben:
Betrag:
Vektoroperationen
Vektoren können auf verschiedene Arten miteinander verknüpft werden:
Addition:
Skalare Multiplikation:
Rechenbeispiel:
,
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt) zweier Vektoren ist eine Zahl und liefert wichtige Information über den Winkel zwischen den Vektoren:
Geometrische Interpretation:
Daraus folgt für den Winkel:
Beispiel:
,
Skalarprodukt:
Winkel:
Orthogonalität: Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht), wenn
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden steht:
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms:
Beispiel:
,
Das Ergebnis zeigt einen Vektor senkrecht zur xy-Ebene!
Anwendungen in der Geometrie
Vektorrechnung findet vielfältige Anwendung:
- Abstandsberechnungen: Abstand zwischen Punkten, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene
- Winkelberechnungen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden, Ebenen
- Flächeninhalte: Parallelogramme und Dreiecke mit Kreuzprodukt
- Volumenberechnungen: Spatprodukt für Volumina
Parameterform der Geraden
Eine Gerade im Raum wird durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben:
: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
: Richtungsvektor (gibt die Richtung der Geraden an)
: Parameter (kann alle reellen Werte annehmen)
Beispiel:
Gerade durch mit Richtung :
Lagebeziehungen von Geraden
Zwei Geraden im Raum können verschiedene Lagen zueinander haben:
1. Identisch:
Die Geraden stimmen vollständig überein
2. Parallel:
Richtungsvektoren sind linear abhängig, aber kein gemeinsamer Punkt
3. Schneidend:
Die Geraden haben genau einen Schnittpunkt
4. Windschief:
Die Geraden liegen in verschiedenen Ebenen und schneiden sich nicht
Ebenengleichungen
Eine Ebene kann auf verschiedene Arten dargestellt werden:
Parameterform:
Normalenform:
Koordinatenform:
Beispiel:
Ebene durch mit Spannvektoren und:
Lagebeziehungen Gerade & Ebene
Eine Gerade und eine Ebene können drei verschiedene Lagen zueinander haben:
1. Gerade liegt in der Ebene
2. Gerade ist parallel zur Ebene
3. Gerade schneidet die Ebene (ein Schnittpunkt)
Schnittpunkte & Abstände
Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu finden, setzt man die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter auf.
Beispiel:
Gerade:
Ebene:
Einsetzen:
Schnittpunkt:
Kugeln & Kugelgleichungen
Eine Kugel im dreidimensionalen Raum ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt den gleichen Abstand (Radius) haben:
In Vektorschreibweise:
Beispiel:
Kugel mit Mittelpunkt und Radius :
Abstände berechnen
Wichtige Abstandsformeln:
Abstand Punkt-Punkt:
Abstand Punkt-Gerade:
Lotfußpunktverfahren oder Formel mit Kreuzprodukt
Abstand Punkt-Ebene:
Winkel berechnen
Winkel zwischen geometrischen Objekten werden mit dem Skalarprodukt berechnet:
Winkel zwischen Vektoren:
Winkel zwischen Geraden:
Winkel zwischen den Richtungsvektoren
Winkel zwischen Ebenen:
Winkel zwischen den Normalenvektoren
Spiegelungen
Spiegelungen sind wichtige geometrische Transformationen:
Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt
Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden
Ebenenspiegelung: Spiegelung an einer Ebene
Formel Ebenenspiegelung:
Spiegelpunkt von an Ebene E:
wobei der normierte Normalenvektor der Ebene ist
Zusammenfassung
Die analytische Geometrie verbindet Algebra und Geometrie und ermöglicht die präzise Beschreibung geometrischer Objekte im Raum:
Grundlagen:
- Vektoren und Vektoroperationen
- Skalar- und Vektorprodukt
- Längen und Winkel
Objekte:
- Geraden und Ebenen
- Kugeln und andere Objekte
- Lagebeziehungen und Abstände
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