Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Stochastik ist die Lehre vom Zufall und beschäftigt sich mit zufälligen Ereignissen und ihrer mathematischen Beschreibung. Sie ist fundamental für viele Bereiche wie Statistik, Qualitätskontrolle, Versicherungsmathematik und Datenwissenschaft.
Zufallsexperiment: Ein Vorgang mit ungewissem Ausgang
Ergebnisraum Ω: Menge aller möglichen Ergebnisse
Ereignis: Teilmenge des Ergebnisraums
Wahrscheinlichkeit P: Maß für die Chance eines Ereignisses
Beispiel: Würfelwurf
Ergebnisraum:
Ereignis "gerade Zahl":
Wahrscheinlichkeit:
Kombinatorik
Die Kombinatorik befasst sich mit dem Zählen von Möglichkeiten. Sie ist essentiell für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
Fakultät:
Permutationen (Reihenfolge wichtig):
Kombinationen (Reihenfolge unwichtig):
Beispiel:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 10 Schülern 3 für ein Team auszuwählen?
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Bei Laplace-Experimenten (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich) gilt:
Gegenereignis:
Vereinigung:
Schnitt (unabhängig):
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes bereits eingetreten ist:
Satz von Bayes:
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und 2 blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen.
Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist, wenn die erste rot war:
(Nach dem ersten Zug sind nur noch 4 Kugeln übrig, davon 2 rote)
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst:
Äquivalent: oder
Baumdiagramme und Vierfeldertafeln
Baumdiagramme visualisieren mehrstufige Zufallsexperimente und erleichtern die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:
Pfadregeln:
1. Pfadregel (Produktregel): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert
2. Pfadregel (Summenregel): Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert
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